[ Pobierz całość w formacie PDF ]

t0, a rezolwentą R(t, 0) tego równania w punkcie 0. Jak wiemy, rozwiązaniem zagadnienia
x = Ax
(35)
x(t0) = x0
jest funkcja wektorowa określona wzorem
x(t) = R(t, t0)x0.
Podstawmy w równaniu (35) s = t - t0. Wtedy
x(t) = x(s + t0) = y(s) oraz x (t) = y (s).
Zagadnienie (35) z niewiadomą funkcją x(t) przejdzie w równoważne zagadnienie
y = Ay
y(0) = x0
z niewiadomÄ… funkcjÄ… y(s). Jego rozwiÄ…zaniem jest
y(s) = R(s, 0)x0.
WracajÄ…c do zmiennej t, otrzymamy rozwiÄ…zanie zagadnienia (35) tym razem w postaci
x(t) = R(t - t0, 0)x0.
Porównując oba rozwiązania, otrzymujemy dla układu o stałych współczynnikach związek
R(t, t0) = R(t - t0, 0). (40)
Wniosek 3.5 RozwiÄ…zanie zagadnienia (35) dane jest wzorem
x(t) = e(t-t0)Ax0. (41)
Odnotujmy jeszcze ważną własność rezolwenty R(t, 0) równania x = Ax.
Fakt Dla dowolnych t, s " R zachodzi zwiÄ…zek
R(s, 0) · R(t, 0) = R(t + s, 0). (42)
Istotnie. Wez
my dowolny punkt x0 " Rn i oznaczmy przez x1 = R(t, 0)x0 a przez
x2 = R(s, 0)x1. Wtedy x2 = R(s, 0) · R(t, 0)x0. Ale jednoczeÅ›nie x2 = R(t + s, 0)x0.
Stąd, na mocy jednoznaczności rozwiązań, mamy zależność (42). Zależność tę można było
również otrzymać ze związku (31) przyjmując t0 = 0, t1 = t, t2 - t1 = s.
62 W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE
Wniosek 3.6 Macierz etA ma własności
d
(a) etA = AetA,
dt
(b) e0·A = e0 = I,
(c) e(t+s)A = esA · etA = etA · esA,
-1
(d) etA = e-tA.
Własności (a) i (b) wynikają z Wniosku 3.2, własność (c) jest innym zapisem związku
(42), własność (d) wynika z (c) i (b).
Wniosek 3.7 RozwiÄ…zanie zagadnienia niejednorodnego
x = Ax + b(t)
x(0) = x0
dane jest wzorem
t
x(t) = etAx0 + e(t-Ä )Ab(Ä) dÄ. (43)
Wzór (43) wynika wprost ze wzoru (28) na str. 57 oraz z własności (c) i (d).
3.3.4 Metody wyznaczania macierzy etA
RozwiÄ…zanie zagadnienia poczÄ…tkowego
x = Ax
(34)
x(0) = x0
dane wzorem
tA t2A2
(39) x(t) = I + + + · · · · x0 = etA · x0,
1! 2!
określone jest przy pomocy szeregu macierzowego. Pokażemy, że rozwiązanie to można
przedstawić w postaci skończonej sumy. Przedtem podamy pewne, potrzebne w dalszym
ciÄ…gu, fakty z algebry liniowej.
Rozważmy przestrzeÅ„ Matn×n(C) macierzy kwadratowych stopnia n×n o wyrazach ze-
spolonych. Niech A " Matn×n(C). Macierz A możemy oczywiÅ›cie utożsamić (przy ustalo-
nej bazie przestrzeni Cn) z odwzorowaniem liniowym A : Cn -’! Cn. Pierwiastki równania
charakterystycznego det(A - »I) = 0 sÄ… wartoÅ›ciami wÅ‚asnymi macierzy A. Oznaczmy je
przez »1, . . . , »k, a ich krotnoÅ›ci odpowiednio przez n1, . . . , nk. OczywiÅ›cie suma krotnoÅ›ci
jest równa n. Oznaczmy przez Vi zbiór zdefiniowany następująco:
Vi = {v " Cn : (A - »iI)niv = 0}.
W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE 63
Zbiór Vi, jest jÄ…drem odwzorowania liniowego o macierzy (A - »iI)ni, jest zatem podprze-
strzeniÄ… przestrzeni Cn. Jest k takich podprzestrzeni. Zachodzi, znane z algebry
Twierdzenie 3.8 (spektralne) Podprzestrzenie Vi mają następujące własności:
1æ%. AVi ‚" Vi, tzn. "v"Vi Av " Vi  wÅ‚asność niezmienniczoÅ›ci,
2æ%. Vi )" Vj = {0} dla i = j,
3æ%. dim Vi = ni,
4æ%. dla dowolnego wektora v " Cn, zachodzi jednoznaczna reprezentacja:
v = v1 + v2 + · · · + vk, gdzie vi " Vi. ( )
Podprzestrzenie Vi nazywają się podprzestrzeniami niezmienniczymi względem odwzoro-
wania A. WÅ‚asność 4æ% formuÅ‚ujemy też nastÄ™pujÄ…co:
Przestrzeń Cn jest sumą prostą podprzestrzeni niezmienniczych wzglądem operatora
liniowego A : Cn -’! Cn, co zapisujemy nastÄ™pujÄ…co
Cn = V1 •" V2 •" · · · •" Vk.
Rozkład ( ) wektora v, na składowe z podprzestrzeni niezmienniczych, nazywamy rozkła-
dem spektralnym wektora v.
Przystępujemy teraz do rozwiązania zagadnienia początkowego (34). Rozkładamy wek-
tor x0 " Rn ‚" Cn na sumÄ™ wektorów z podprzestrzeni niezmienniczych:
x0 = x1 + x2 + · · · + xk, gdzie xi " Vi
0 0 0 0
oraz skorzystamy z tożsamoÅ›ci etA = et»iI · et(A-»iI). Otrzymamy
k k k
x(t) = etA · x0 = etA · xi = etA · xi = et»iI · et(A-»iI) · xi =
0 0 0
i=1 i=1 i=1
rozwijamy teraz macierz et(A-»iI) w szereg potÄ™gowy (38)
ëø öø ëø öø
k " k "
tj tj
= et»iI íø (A - »iI)jøø xi = et»iI íø (A - »iI)jxi øø =
0 0
j! j!
i=1 j=0 i=1 j=0
ale (A - »iI)jxi = 0 dla j ni (bo xi " Vi)
0 0
ëø öø
k ni-1
tj
= et»iI íø (A - »iI)jxi øø =
j!
i=1 j=0
t»iI t2»2I2 t»i t2»2
i i
et»iI = I + + + · · · = 1 + + + · · · · I = et»i · I
1! 2! 1! 2!
64 W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE
k ni-1 k ni-1
tj tj
= et»iI (A - »iI)jxi = et»i (A - »iI)jxi .
0 0
j! j!
i=1 j=0 i=1 j=0
Oznaczmy jeszcze przez E»i macierz odwzorowania liniowego, przyporzÄ…dkowujÄ…cego wek-
torowi v " Cn, jego i tÄ… skÅ‚adowÄ… vi z rozkÅ‚adu spektralnego. Zatem macierz E»i okreÅ›lona
n
jest nastÄ™pujÄ…co: "v"C E»iv = vi. RozwiÄ…zanie x(t) możemy teraz zapisać nastÄ™pujÄ…co
k ni-1
tj [ Pobierz całość w formacie PDF ]